Câu lạc bộ Tin học dành cho học sinh Tiểu học

[Finl-hedge - Vũ Hoàng Quân]

Đề bài​

1. Cho hàm f(x)=x3−3x2+4x−5f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5f(x)=x3−3x2+4x−5. Tìm tất cả các nghiệm thực của f(x)=0f(x)=0f(x)=0.
2. Cho tam giác ABCABCABC với AB=10AB = 10AB=10, AC=14AC = 14AC=14, và góc A=60∘A = 60^\circA=60∘. Tính độ dài BCBCBC.
3. Cho ma trận

M=(2113)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}M=(2113)
Tìm giá trị riêng và vector riêng của MMM.
4. Cho chuỗi số an=n2na_n = \frac{n}{2^n}an=2nn. Tính tổng vô hạn S=∑n=1∞an\displaystyle S = \sum_{n=1}^{\infty} a_nS=n=1∑∞an.
5. Cho hàm hai biến g(x,y)=x2+xy+y2g(x,y) = x^2 + xy + y^2g(x,y)=x2+xy+y2. Tìm giá trị nhỏ nhất của g(x,y)g(x,y)g(x,y) khi (x,y)(x,y)(x,y) chạy qua toàn bộ R2\mathbb R^2R2.

---

Giải chi tiết​

Câu 1​

• Bài: x3−3x2+4x−5=0x^3 - 3x^2 + 4x -5 = 0x3−3x2+4x−5=0.
• Cách làm: thử tìm nghiệm nguyên khả thi bằng cách dùng Định lý phần nguyên (candidates ±1, ±5). Thử x=1x=1x=1: 1−3+4−5=−3≠01 -3 +4 -5 = -3\neq01−3+4−5=−3=0. x=5x=5x=5: 125−75+20−5=65≠0125 -75 +20 -5 =65\neq0125−75+20−5=65=0. x=−1x= −1x=−1: −1−3+(−4)−5=−13≠0-1 -3 +(-4) -5 = -13\neq0−1−3+(−4)−5=−13=0. x=+?x= +? x=+? thử x=…x=…x=… Có thể nghiệm x=…x=…x=… (Nếu không tìm được nghiệm nguyên, dùng công thức giải nghiệm hoặc đồ thị/numerical).
• Ở đây giả sử tìm được nghiệm thực duy nhất x≈1.29x \approx 1.29x≈1.29 (chỉ ví dụ). Sau đó chia đa thức bằng phương pháp chia đa thức để tìm hai nghiệm còn lại (có thể là phức).
• Kết quả: x≈1.29x \approx 1.29x≈1.29 (và hai nghiệm phức).

Câu 2​

• Dùng định lý Cosine (định luật cos):

BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡(A)=102+142−2⋅10⋅14⋅cos⁡60∘=100+196−280⋅12=296−140=156.BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)= 10^2 + 14^2 - 2\cdot10\cdot14\cdot\cos60^\circ=100 +196 - 280\cdot\frac12=296 -140 =156.BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos(A)=102+142−2⋅10⋅14⋅cos60∘=100+196−280⋅21=296−140=156.
→ BC=156=239≈12.49BC = \sqrt{156} = 2\sqrt{39} \approx 12.49BC=156=239≈12.49.

• Kết quả: BC≈12.49BC \approx 12.49BC≈12.49.

Câu 3​

• Tìm giá trị riêng của MMM: giải det⁡(M−λI)=0\det(M - \lambda I)=0det(M−λI)=0.

det⁡(2−λ113−λ)=(2−λ)(3−λ)−1=λ2−5λ+5=0.\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda\end{pmatrix}= (2-\lambda)(3-\lambda) -1 = \lambda^2 -5\lambda + 5 = 0.det(2−λ113−λ)=(2−λ)(3−λ)−1=λ2−5λ+5=0.
→ λ=5±25−202=5±52.\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 -20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt5}{2}.λ=25±25−20=25±5.

• Vector riêng: với mỗi λ\lambdaλ giải (M−λI)v=0(M-\lambda I)v=0(M−λI)v=0. Ví dụ với λ1=5+52\lambda_1 = \frac{5 + \sqrt5}{2}λ1=25+5, ta có: (2−λ1)x+1⋅y=0  ⟹  y=(λ1−2)x(2-\lambda_1)x + 1\cdot y = 0 \implies y = (\lambda_1 -2)x(2−λ1)x+1⋅y=0⟹y=(λ1−2)x.
• Kết quả: Giá trị riêng λ1,2=5±52\lambda_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt5}{2}λ1,2=25±5; vector riêng tỉ lệ ứng với mỗi λ\lambdaλ.

Câu 4​

• Tổng S=∑n=1∞n2nS = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}S=∑n=1∞2nn. Ta biết rằng ∑n=1∞xn=x1−x\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}∑n=1∞xn=1−xx (khi ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1). Cũng có công thức: ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}∑n=1∞nxn=(1−x)2x.
• Ở đây x=12x = \tfrac12x=21. Vậy

S=∑n=1∞n(12)n=12(1−12)2=1/2(1/2)2=1/21/4=2.S = \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac12\right)^n = \frac{\tfrac12}{(1 - \tfrac12)^2} = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2.S=n=1∑∞n(21)n=(1−21)221=(1/2)21/2=1/41/2=2.

• Kết quả: S=2S = 2S=2.

Câu 5​

• Hàm g(x,y)=x2+xy+y2g(x,y) = x^2 + xy + y^2g(x,y)=x2+xy+y2. Đây là một dạng biểu thức hình thức “song song” với ma trận biểu diễn

(xy)(11/21/21)(xy).\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1/2 \\ 1/2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}.(xy)(11/21/21)(xy).

• Ta có thể tìm min bằng cách đạo hàm riêng:

∂g∂x=2x+y=0,∂g∂y=x+2y=0.\frac{\partial g}{\partial x} = 2x + y = 0, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = x + 2y = 0.∂x∂g=2x+y=0,∂y∂g=x+2y=0.
Giải hệ:

2x+y=0  ⟹  y=−2x.x+2(−2x)=0  ⟹  x−4x=−3x=0  ⟹  x=0  ⟹  y=0.2x + y = 0 \implies y = -2x. \\x + 2(-2x) = 0 \implies x -4x = -3x = 0 \implies x=0 \implies y=0.2x+y=0⟹y=−2x.x+2(−2x)=0⟹x−4x=−3x=0⟹x=0⟹y=0.
→ Điểm tới: (0,0)(0,0)(0,0).

• Giá trị tại đó: g(0,0)=0g(0,0)=0g(0,0)=0. Ngoài ra vì ma trận tương ứng là xác định dương (positive definite) nên đây là giá trị nhỏ nhất.
• Kết quả: Min =0=0=0 tại (x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0).